Елементите на вектор анализ
Zlementy анализ вектор
15.1. Vector полета. Интеграл и диференциал
характеристики на векторни полета
15.1.1. Векторни линии. диференциални уравнения
вектор силови линии
Определение 1. поле Вектор е част от пространството (или цялото пространство), в която всяка точка М даден физически феномен, характеризиращ се с количество вектор.
Ако бъде внесен в пространството на картезианската правоъгълна координатна система, на вектор справка - функцията поле се намалява до три заповеди на скаларни функции:
Най-простият геометричните характеристики векторни полета са вектор и вектор линия тръба.
2. Определяне вектор силови линии се наричат линии (криви) при всяка точка М, където посоката на допирателна съвпада с посоката на поле в този момент.
Определение 3. вектор, наречен тръба повърхност, образувана от векторни линии, минаващи през точките, разположени в областта на затворена крива, която не съвпада (поне частично) с - линия или вектор.
Ако полето е дадено от (1,1), уравнението на векторни линии е дадена система на диференциални уравнения
Забележка. Методи за решаване на системи (1.2) (системи в симетрична форма) се считат в теорията на диференциални уравнения.
Определение 4. поле Вектор се нарича плосък ако специално подбрана координатна система, тя има следния вид:
Системата от уравнения (1.2) за тези области има формата
и по този начин вектор линии плосък поле - то криви лежат в равнини, успоредни на равнината Oxy.
Пример 1. Виж областта на вектор (вектор = CONST - радиус на вектора на точка).
Решение. Нека; след това
.
Ние образуват диференциални уравнения на линии векторна система (1.2):
.
Тази система е метод за решаване интегрируеми комбинации. За интегрируеми комбинация умножаване на числителя и знаменателя на първата фракция на х. вторият - от у. третата - на Z; добавите израза със срок. Чрез собственост на пропорции получаваме
,
от които се получи интегрируеми комбинация :; интегрирането му, ние получаваме - първият интеграл на системата. Вторият интегрируеми комбинация, получена чрез умножаване на числителя и знаменателя на фракцията за първата, втората - на, третият - за; добави срока по план, ние получаваме
;
по този начин, следователно.
По този начин, системата определя уравнения желаните векторни линии: кръговите центрове, които са на една права линия, преминаваща през началото на посоката на вектора; равнината, в която те се намират, перпендикулярна на права линия.
Пример 2. Намерете най-векторни магнитните силови линии безкраен Настоящият диригент.
Решение. Ние вярваме, че проводникът е насочено по оста Oz. и в същата посока протича ток. Векторът на магнитното поле, генерирано от тока, е мястото, където - текущия вектор, - радиус вектора на точка; - разстояние от оста на проводника преди точката М. Трябва освен това уравнение (1.2 ¢) под формата :, където - с вектора линии са кръгове центрове на оста Oz.
15.1.2. вектор поле потока
1. Определяне на вектор поле поток
Нека разгледаме поле вектор, където проекциите - непрекъснатост в някои региони (V). Да разгледаме гладка (по части гладка) двустранно ориентирани повърхност (S) (т.е. с избрания двустранен повърхността него нормална посока).
Определение. Поток поле II вектор чрез двупосочна ориентирана повърхност (S) се нарича повърхност неразделна от първи вид на повърхността (S):
Тук - единица вектор нормална към избраната страна (S); DS - повърхността на елемента (S).
Забележка. В случай на затворена повърхност е ориентирана насочи нормално в област (V) към външната страна. Страната с положителната посока на нормалата се нарича положителната страна на повърхността.
За поток може да се получи след влизането през повърхността интеграли на първия и втория тип:
където - това е - зона проекция на Oyz равнина. Oxz. Oxy съответно.
