Как да решим тригонометрични уравнения

Предишен ◈ Следващото

Тригонометрични уравнение включва един или повече тригонометрични функции на променливата "х" (или всяка друга променлива). Решение на тригонометрични уравнения - е да се намери такава стойност "х", което отговаря на функцията (ите) и уравнението напълно.

  • Решаване на тригонометрични уравнения се изразяват в градуси или радиани. примери:

х = π / 3; х = 5π / 6; х = 3π / 2; х = 45 градуса; х = 37.12 градуса; х = 178.37 градуса.

  • Забележка: Стойностите на тригонометричните функции на ъгъла, изразени в радиани и ъглите, изразени в градуси, равен. Тригонометрични кръг с радиус, равен на един, се използва за описване на тригонометричните функции, както и да се провери правилността на решението на основните тригонометрични уравнения и неравенства.
  • Примери тригонометрични уравнения:
    • грях х + грях 2x = 1/2; TG х + CTG х = 1,732;
    • защото 3x + грях 2x = COS х; 2sin 2х + защото х = 1.
  1. Тригонометрични кръг с радиус равен на единица (единица кръг).
    • Окръжност с радиус, равен на един и центриран при О. кръга Единичната 4 описва основния тригонометрична функция на променливата "X", където "х" - ъгъла спрямо оста Х положителна посока на часовниковата стрелка.
    • Ако "х" - някакъв ъгъл на единица кръг, тогава:
    • OAh хоризонтална ос показва функция F (х) = COS х.
    • OVy вертикалната ос показва функция F (х) = грях х.
    • Ординатата посочва AT функция F на (х) = TG х.
    • BU Хоризонталната ос показва функцията F (х) = х CTG.
  • кръга на единица се използва и в решаване на основните тригонометрични уравнения и неравенства (в него се обсъждат различни разпоредбите на "х").

стъпки Редактиране

Как да решим тригонометрични уравнения

Как да решим тригонометрични уравнения

Концепция разтвори на тригонометрични уравнения.
  • За решаване на тригонометрични уравнения го превърнат в една или повече основни тригонометрични уравнения. Решение на тригонометрични уравнения в крайна сметка се свежда до решението на четирите основни тригонометрични уравнения.

Как да решим тригонометрични уравнения

Как да решим тригонометрични уравнения

Решение на основните тригонометрични уравнения.
  • Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
  • грях х = с; защото х = а
  • TG х = с; CTG х = а
  • Решение основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различни позиции "х" на единичната окръжност, а с помощта на таблицата за преобразуване (или калкулатор).
  • Пример 1. грях х = 0866. С помощта на таблицата за преобразуване (или калкулатор), можете да получите отговор: х = π / 3. кръга на единица дава друг отговор: 2π / 3. Не забравяйте, всички тригонометрични функции са периодични, тоест, техните стойности се повтарят. Например, х периодичност греха и COS х е равен на 2πn, както и честотата и TG х CTG х е равно на πn. Ето защо, отговорът се записва по следния начин:
  • X1 = π / 3 + 2πn; Х2 = 2π / 3 + 2πn.
  • Пример 2 защото х = -1 / 2. С помощта на таблицата за преобразуване (или калкулатор), можете да получите отговор: х = 2π / 3. кръга на единица дава друг отговор: -2π / 3.
  • X1 = 2π / 3 + 2π; Х2 = -2π / 3 + 2π.
  • Пример 3. TG (х - π / 4) = 0.
  • Отговор: х = π / 4 + πn.
  • Пример 4. CTG 2x = 1,732.
  • Отговор: х = π / 12 + πn.

Как да решим тригонометрични уравнения

Как да решим тригонометрични уравнения

Преобразуване използва при решаване на тригонометрични уравнения.
  • За да се превърне тригонометрични уравнения с помощта на алгебрични трансформация (факторинг, привеждане на хомогенни условия и т.н.) и тригонометрични идентичност.
  • Пример 5. Използване тригонометрични идентичност, уравнение грях х + грях 2х + грях 3x = 0 се трансформира в уравнение 4cos Х * грях (3x / 2) * COS (х / 2) = 0. По този начин, е необходимо да се реши следната основна тригонометрични уравнение: защото х = 0; грях (3x / 2) = 0; COS (х / 2) = 0.

Намирането на ъгли от известните стойности на функции.

  • Преди да се разгледат начините за решаване на тригонометрични уравнения трябва да се научите как да се намерят ъглите на известни стойности на функции. Това може да стане с помощта на таблицата за преобразуване или калкулатор.
  • Пример: COS х = 0.732. Калкулаторът ще отговори х = 42.95 градуса. кръга на единица дава допълнителни ъгли, което също е равно на косинуса на 0,732.

Поставете решение на единичната окръжност.

  • Можете да отложи решаването на тригонометрични уравнението на единичната окръжност. Решения тригонометрични уравнения на единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
  • Пример: Разтвор х = π / 3 + πn / 2 на единица кръг са върховете на квадрат.
  • Пример: Разтвор х = π / 4 + πn / 3 на единица кръг са върхове на правилен шестоъгълник.

Методи за решаване тригонометрични уравнения.

  • Ако даден тригонометрични уравнението съдържа само една тригонометрични функции, да решим това уравнение като основен тригонометрични уравнение. Ако това уравнение включва две или повече тригонометрична функция, има 2 методи за решаване на тези уравнения (в зависимост от възможностите за превръщането му).
    • Метод 1.
  • Преобразуване на това уравнение в уравнението на формата: е (х) * г (х) * Н (х) = 0, където е (х), г (х), Н (х) - основния тригонометрични уравнение.
  • Пример 6. 2cos х + грях 2x = 0 (0
  • Решение. Използване на ъгъл формула 2x двойно грях = 2 * грях х * х COS, замени грях 2x.
  • 2sos х + 2 * грях х * защото х = 2cos х * (син х + 1) = 0. Сега изберете два основни тригонометрични уравнение: COS х = 0 и (син х + 1) = 0.
  • Пример 7. защото X + COS 2х + защото 3x = 0 (0
  • Решение: Използване тригонометрични идентичност, преобразуване на това уравнение в уравнението на формата: COS 2x (2cos х + 1) = 0. Сега изберете два основни тригонометрични уравнение: COS 2x = 0 и (2cos х + 1) = 0.
  • Пример 8. грях х - SIN 3x = COS 2x. (0
  • Решение: Използване тригонометрични идентичност, преобразуване на това уравнение в уравнението на формата: -cos 2х * (2sin х + 1) = 0. Сега изберете два основни тригонометрични уравнение: COS 2x = 0 и (2sin х + 1) = 0.
    • Метод 2.
  • Конвертиране на тригонометрични уравнения, дадено в уравнение, съдържащ само един тригонометрични функции. Тогава замени тригонометрична функция за някои неизвестни, например, т (син х = Т; COS х = Т; защото 2x = т, TG х = Т; TG (х / 2) = Т, и т.н.).
  • Пример 9. 3sin ^ 2 х - 2cos ^ 2 х = 4sin х + 7 (0
  • Решение. В това уравнение, замени (COS ^ 2 х) от (1 - SIN ^ 2 х) (в зависимост от идентичността). Трансформираната уравнението е както следва:
  • 3sin ^ 2 х - 2 + 2sin ^ 2 х - х 4sin - 7 = 0. Замяна грях х за тон. Сега уравнение има формата: 5 тона ^ 2 - 4 тон - 9 = 0. Това е квадратно уравнение с две корени: t1 = -1 и Т2 = 9/5. T2 Вторият кореновата зона не отговаря на стойностите функция (-1
  • Пример 10. TG х + 2 2 TG ^ х = CTG х + 2
  • Решение. Замяна TG х от т. Препишете първоначалното уравнение в следната форма: (2t + 1) (т ^ 2 - 1) = 0. Сега разбери т, и след това да се х т = TG х.

Специални тригонометрични уравнения.

  • Има няколко специални тригонометрични уравнения, които изискват конкретни реформи. примери:
  • а * грях X + B * COS х = С; на (син х + х COS) + B * защото х * грях х = с;
  • а * грях ^ 2 х + Ь * грях х * х + защото в * защото ^ 2 х = 0

Как да решим тригонометрични уравнения

Как да решим тригонометрични уравнения

Периодичността на тригонометричните функции.
  • Както вече бе споменато, всички тригонометрични функции са периодични, т.е. техните стойности са повторени след определен период. примери:
    • Период функция е (х) = грях х е равно на 2π.
    • Период функция е (х) = TG х е равно на П.
    • Период функция F (х) = грях 2х равни на П.
    • Период функция е (х) = COS (х / 2) е равен на 4π.
  • Ако срокът, определен в проблема, се изчисли стойността на "х" в рамките на този период.
  • Забележка: Решението на тригонометрични уравнения - не е лесна задача, която често води до грешки. Ето защо, внимателно да проверите отговорите. Може да се използва графичен калкулатора за изграждане на графика на уравнението R (х) = 0 В такива случаи, разтворите са представени като десети (т.е. П заменени с 3.14).
Предишен ◈ Следващото